os números reales

t1.JPG
Ejemplo: Reflexione el conjunto siguiente:

t2.JPG
Registre los elementos conjunto A que son:
a) Naturales d) Racionales
b) enteros no negativos e) Irracionales
c) enteros f) Reales Solución:

t3.JPG
Considere el siguiente conjunto:
t4.JPG


Registre los elementos del conjunto A que son:
a) Naturales d) Racionales
b) enteros no negativos e) Irracionales
c) enteros f) Reales
Considere el siguiente conjunto:

t5.JPG
Registre los elementos del conjunto A que son:
a) Naturales d) Racionales
b) enteros no negativos e) irracionales
c) enteros f) Reales

Noción de conjuntos
Cuando hablamos de conjuntos, nos referimos a una colección de objetos, reunidos a través de una característica común que los relaciona mutuamente.
Conjunto es una agrupación de objetos concretos o abstractos.

Notación
Generalmente usaremos letras mayúsculas para denotar un conjunto, los elementos los incluiremos dentro de llaves y separados por comas.

Representación gráfica
Gráficamente los conjuntos pueden ser representados por diagramas geométricos y dentro de
t6.JPG
Cardinalidad de un Conjunto
Si hay un número n > 0 tal conjunto A tiene n elementos, entonces A decimos que es un conjunto finito y su cardinalidad es n. Si para el conjunto A no existe tal entero, entonces decimos que A es un conjunto infinito.
A = {x / x N < 5} = {0, 1, 2, 3, 4}, es finito y su cardinalidad es 5
los conjuntos A = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3, 4} ambos tienen la cardinalidad es 4, establecen una relación biunívoca, es decir, cuando a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B. Cuando esto sucede los conjuntos se denominan de equivalencia.

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Por extensión o tabulación

Se indica o se enumera los elementos de dicho conjunto.

A = {sol} B={Jonh Baird 1926} C={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …….}

Por comprensión

Se especifica los elementos a base de una propiedad común.

A = {centro del Sistema solar}

B = {inventor del televisor y el año}

C = {los números primos}
Por construcción
Es una proposición verdadera que determina un conjunto en forma simbólica, usa signos que facilita su comprensión.

A = {x / x N < 51 por construcción

A = {O, 1, 2, 3, 4} por extensión

A = {números naturales menores que cinco} por comprensión

El símbolo del elemento de un conjunto est7.JPGy 2 t7.JPGA

El símbolo del NO elemento de un conjunto es .t8.JPG 7 t8.JPG A


Inclusión de Conjuntos

Subconjunto propio

Se dice que A se subconjunto propio de B; o, A está contenido estrictamente en B, cuando los dos conjuntos tienen los mismos elementos: n (A) = n (B)

Se denota por A B o B A, es decir, A = B o B= A

A = {r, o, m, a} donde n (A)= 4 B = {a, m, o, r} donde n (B)= 4

Igualdad de Conjuntos

Consideramos dos conjuntos iguales siempre que existan los mismos elementos.
Si A= B, entonces, A t9.JPGB ^ B t9.JPGA

A = {t, o, m, a, s, a} y B={t, o, m, a, s}; C = {2x – 1/x Z; 0 < x < 5 } y D ={1,3,5,7}

Se puede apreciar que: A= B y C= D

Disyunción de Conjuntos

Se dice que dos conjuntos son disjuntos cuando no poseen elementos comunes

A = {x / x es un número par}

B = {x / x es un número impar}

Equivalencia de conjuntos

Dos conjuntos son equivalentes cuando sus elementos se relacionan uno a uno entre sí, es decir, que a elementos distintos de A le corresponde elementos distintos de B y son usados todos los elementos de B
A = {r, o, m, a}, n(A)= 4 B= {1,2.3,4}. n(B)=4

Si dos conjuntos son equivalentes se denota A ~B

Clases de conjuntos

Finito si posee una cantidad limitada de elementos.

A = {x/x es un día a la semana}

Infinito si posee una cantidad limitada de elementos. A = {x/x es un número real}

Nulo o Vacío es aquel que no tiene elementos. 5 e denota por { } o 0. El conjunto vacío es considerado subconjunto de todo conjunto.

t10.JPG
Unitario es aquel que tiene un solo elemento.

A = {a} → n(A) = 1

UNIVERSO Es el conjunto referencia para el estudio de una situación particular, que contiene todos los conjuntos considerados.

Se le denota por U.

Dados los conjuntos
:
A = {los gatos} B = {los tigres}

Los Conjuntos universales pueden ser

U1 = {los animales} U2= {los felinos}


Partes de un conjunto
El conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjunto A se llama conjunto de parte
de A. Se denota por t11.JPG (A).

Así, sí B = {a, b}, entonces n (B)= 2, tenemos que el conjunto de parte de B es:

t11.JPG (B) = {Ø, {a), {b}, {a, b}}

Así, sí C = {a, b, c}, entonces n (C)= 3, tenemos que el conjunto de parte de C es:

t11.JPG(C) ={Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, {a, b, c}}


t12.JPG
 TRABAJO EN CLASES1. Nombrar o determinar por extensión los siguientes conjuntos:
A = { x Єz / x divide a 24} ........................................................ ….A = { 2,3,4,6,8,12}
E = { x Єz / x esta entre -3 y 7} ...................................... B = { -3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,7}
D = { x / x es un mes del año} ................................................... ………..D = { agosto}
E = { x / x es una estación del año} ............ E = { verano, invierno, primavera, otoño}
F = { x / x es una estación del mes} .......................................... F = { agosto, verano}
C = { x ЄN / x es un multiplo de 2} ................................C = { 2,4,6,8,10,12,14,16,...}

A2. Nombrar o determinar por comprensión los siguientes conjuntos:

A ={0,3,6,9,12,15}
A ={X ÎN / X NUMEROS SUMADOS +3 DE -3}


B ={A, E, I, O, U}
B ={X / X LAS VOCALES}

C ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
C ={X ÎN / X NUMEROS DIGITOS}


D ={2,3,5,7}
D ={X ÎN / X NUMEROS PRIMOS MAYORES QUE 1 Y MENORES QUE 10}


D ={A ,D ,C......Z}
D ={X / X EL ABECEDARIO}
3. lustra cada conjunto en una recta numérica.4. Sea A = {1,2,3,4,5}. Determinar el valor deverdad de cada una de las siguientes proposiciones:
Sean A={1,2,3,4,5} Determinar V o F
a).- 3ЄA V
b).- {4} СA V
c).- [1, 3,5] CA V
d).- φЄA F
e).- {1} ЄA F
f).- φCA V
g).- 0ЄA V

h).- 2CA F
i).- {1, 2, 3, 4,5} ЄA F
5. Si A = {2,4,6} B = {1, 2,3,4,5,6} y C ={4, 1, 2, 3, 6, 5} Determinar elvalor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
A c B...................................... Verdadero
A = C...................................... Falso
B = C...................................... Verdadero
{4} c A..................................... Verdadero

Unión
El conjunto unión de A y B está formado por los elementos que pertenecen a A, pertenecen a B o a ambos. Se denota por t13.JPG

Simbólicamente
t14.JPG

Gráficamente:
t15.JPG

Intersección
El conjunto intersección de A y B está formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a A y B. Se denota por t16.JPG

Simbólicamente
t17.JPG

Gráficamente:

t18.JPG


Diferencia
En la diferencia de conjuntos hay que considerar tres Bases diferentes en su grafica

t19.JPG

Se divide en: Diferencia Relativa, Diferencia Complemento y Diferencia Simétrica:



Diferencia Relativa


La diferencia relativa o simplemente diferencia de A y B es un conjunto formado por los elementos que
pertenecen
a A y no pertenecen a B. Se denota por A- B


Simbólicamente:
t21.JPG


t20.JPG


Diferencia Complemento
Está formado por todos los elementos que le faltan a A para completar el conjunto universo
Se denota
´t22.JPG
Simbólicamente:
t23.JPG

Sean U = {m, a, r, t, e} y
A =(las vocales}.
Hallar su complemento

AC `- A'= {m, r, t}

t24.JPG



Cuando no es el universo, sino entre dos conjuntos:
Se denota por
t25.JPG
t26.JPG


Diferencia Simétrica
Está dada por la unión de sus diferencias relativas; o, a la unión menos la intersección se denota por A ∆ B
Simbólicamente:
t27.JPG

t28.JPG
t29.JPG




TRABAJO EN CLASE


Dados los conjuntos: A = {a, b, C, d, e}, B = {a, e} y C = {d, f, g} construir los diagramas respectivos:


Tenemos los conjuntos y gráficos dados, escribir la respuesta por extensión al lado derecho de cada diagrama.

B3.JPG
t30.JPG
D4.JPGD5.JPGD6.JPGD7.JPGD8.JPG
H4.JPG
H5.JPG

Si U={1,2,3,4,5,6} ,A={1,2,3,4} B={4,5,6} Hallar


DEBER
U = (NUMEROS DIGITOS)
A = (1,3,5,6,7,9)
B= (2,4)
C = ( 1,2,3,4)

D9.JPG
D10.JPGH7.JPGH8.JPGH9.JPG Ejercicios de operaciones con conjuntos:J2.JPGJ3.JPGJ4.JPGJ5.JPGJ6.JPGJ6.JPGJ7.JPGJ11.JPG J12.JPG J13.JPGJ8.JPG PROBLEMAS


1.-En un club deportivo se hace una encuesta, la cual arroja los siguientes resultados: 11 personas practican fútbol, 16 practican natación y 6 practican ambas cosas. ¿A cuántas personas se le aplico la encuesta?

DATOS
F =11
N =16
F ∩ N = 6.

p1.JPG
R=21


2.-En una clase de 50 estudiantes, hay 20 Físicos y 40 Matemática ¿Cuántos hay que son simultáneamente Físicos y Matemática?


Datos
U = 50
F = 20
M = 40

p2.JPG
20-X+X+40-X=50
60-X=50
R=10



3.-Karoline realiza un viaje durante todo el año a Galápagos o Esmeraldas. Si 8 viajes fueron a Galápagos y 11 viajes a Esmeraldas. ¿Cuántos meses visitó los lugares?

Datos

U = 12 meses
G=8
E=11


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8-X+X+11-X=12
19-X
R=7

4.-Suponga que en un conjunta de 100 paciente, 20 tienen dolores estomacales, 30 tienen gripe y 5 tienen los dos síntomas ¿Cuántos tienen solamente dolor estomacal?

Datos
U=100
E = 20
G = 30
E∩G=5

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R=15

5.-En una clase de Historia de 50 estudiantes, 35 son estudiosos, 23 pierden y 6 de los que pierden son estudiosos ¿Cuántos estudiantes que no son estudiosos pierden?


Datos
U = 50
E = 35
P= 23

E ∩ P= 6
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6.-En un aula hay 53 estudiantes de los cuales a 7 no les gusta ni matemática ni geometría y a 25 les gusta ~ matemática- ¿Cuántos les gusta geometría, si a los que les gustan ambas asignatura son 10?
Datos
U=53
(M ∩ G)´ = 7
M=25
M ∩ G=10


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R=21

7.-En una encuesta realizada 160 personas, 94 tienen refrigeradoras, 12 tienen cocina a gas y 10 no tienen ningún artefacto de los mencionados. ¿Cuántos frenen cocina a gas solamente y refrigeradora?

Datos
U=160
R=94
C=12
N=10


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R= 106

8.-De los 55 estudiantes de un curso, 23 pierden en sociales, 19 filosofía y 13 matemática. De éstos, 13 pierden sociales y filosofía, 7 filosofía y matemática, 9 sociales y materias y 4 las tres materias ¿Cuántos estudiantes no pierden ninguna de las tres materias?


Datos
U 55
S =23
F = 19
M=13

S F = 13
F
M =7

S M=9
SFM=4

p8.JPG
Luego 25 estudiantes no pierden ninguna de las tres materias,
Cuantos pierden en:
Sociales 5 filosofía: 3 matemáticas: 1

Sociales y matemáticas: 5
Filosofía y matemáticas: 3
Sociología y filosofía= 9



9.-Al revisar 28 carros en la oficina de tránsito se encontró que 7 tienen problemas de frenos, 6 problemas en la dirección, 6 en las luces, y de estos 4 en frenos y dirección, 1 en dirección y luces, 3 en frenos y luces; y 1 tiene problemas en los tres.
a) ¿Cuántos no tiene problemas? R=16
b) ¿Cuántos tienen que repararse? R=12
Datos
F=7
D=6
L=6

F ∩ D=4
D ∩ L=1
F ∩ L=3
F ∩ D ∩ L=1

p9.JPG
10.-En una encuesta realizadas a mujeres casadas se obtuvieron los siguientes resultados: 150 mujeres veían películas románticas, 190 mujeres leían novelas de misterios, 160 mujeres escuchaban música para meditar y un grupo mujeres preferia ver telenovelas de estos datos algunas de damas anexaron lo siguiente: 90 mujeres preferían ver películas románticas y leer novelas de misterio, 75 mujeres disfrutaban de escuchar música y leer novelas de misterio, 68 mujeres veían películas románticas y escuchaban música para meditar, 30 veían tanto películas románticas, escuchaban musica para meditar y leían novelas de misterio, 15 veían telenovelas y leían novelas de misterio. ¿Cuántas Mujeres veían telenovelas si el grupo encuestado era de 350 mujeres?
Datos

U=350
P=150
N=190
P L=90
M L=75
P M=68
P M L=30
V L=15
p10.JPG
R=62

11.-En una escuela de preparatoria con dos humos de trabajo, la planta docente de ambos tumos tiene los siguientes datos_ 19 profesores de Biología, 30 Profesores de Química, 15 Profesores de Física, 24 Profesores de Materna ticas. y 19 Profesores de Inglés; algunos maestros enseñan otras materias y he aquí los datos: 8 profesores enseñan tanto Biología como Química, 9 Profesores enseñan tanto Física como Química, 10 profesores de Matemáticas enseñan también Química y 9 profesores de Inglés también imparten la materia de Matemática& Sí existen 230 profesores de otras asignaturas ¿Qué cantidad de profesores hay en ambos tumos? ¿Cuántos profesores imparten más una asignatura?
DATOS
U=230
B=19
Q=30
F=15
M=24
I=19
B ∩ Q=8
F ∩ Q=9
M ∩Q=10
I ∩ M=9
p11.JPG

R= 230, 36

12.-180 personas fueron censadas sobre el consumo de tres productos A, B y C:
obteniéndose el siguiente resultado
110 prefieren A
120 prefieren B
130 prefieren C
66 prefieren A y C
78 prefieren A y B
90 prefieren B y C
52 prefieren los tres productos
p12.JPG


¿Cuántos no prefieren ninguno de estos productos?
R=2

13.-En un barrio donde hay 29 personas, 16 compran en el mercado, 15 en la bodega, 18 en el supermercado, 5 en los dos últimos sitio únicamente, y 7 en el primero y el último únicamente ¿cuál es el número de personas que compran solamente en el mercado?
DATOS
U=29
M016
B=15
S=18
B S=5
M S=7
p13.JPG

14.-De una muestra recogida a 200 turistas se determinó lo siguiente 64 eran orteamericanos, 86 eran europeos y 90 eran ingenieros, de estos últimos 30 eran norteamericanos y 36 europeos- ¿Cuántos de los que son europeos no eran norteamericanos ni ingenieros?
DATOS
U=200
N=64
E=86
I=9
I ∩ N=30
I ∩ E=36
p14.JPG

R=50

15.-Sabiendo que el conjunto P tiene 20 elementos, el conjuntos Q tiene 35 y si P ∩ Q tiene 5 elementos entonces ¿cuántos elementos tiene P U Q
DATOS
P=20
Q= 35
P ∩ Q=5
p15.JPG

R=50

16.-Si el conjunto P tiene 30 elementos, el conjunto Q tiene 40 y si P Q tienen 10
Elementos, entonces ¿cuántos elementos tienen P U Q?
DATOS
P=30
Q= 40
P ∩ Q=10
p16.JPG
R=60

17.-Una compañía cafetera dispuso pagar un dólar por cada persona entrevistada sobre sus preferencias por los tipos de café. De los entrevistados, a 200 les gustaba el café en grano el café instantáneo, a 70, ambos, y a 50 no les agradaba el café ¿Cuánto tuvo que pagar la compañía?
DATOS
G= 200
I=270
G I=70
U=50
p17.JPG
R=450

¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto de n elementos?
R= 2n

18.-Los resultados de una encuesta de consumo de los artículos A, B y C son: el 3% consumen los tres artículos, el 7% los artículos A y B; el 11% los artículos A y C; el 9% los artículos B y C, el 7% consume exclusivamente el artículo A; el 8% exclusivamente el B; el 12% exclusivamente el C. ¿Cuántos no consumen ninguno de los tres artículos, si los encuestadores fueron 350 consumidores?
DATOS
A B C= 3
A B=7
A C =1
B C=9
A=7
B=8
C=12
p18.JPG

R=182

19.-De 162 vendedores ambulantes, 60 venden camisetas y blusas, 40 camisetas y pañuelos, 50 blusas y pañuelos, 42 venden solo una clase esas prendas
¿Cuántos venden por lo menos tres tipos de prendas mencionadas?
DATOS
U=162
C B=6
C P=40
B P=50
42 SOLO UNA PRENDA

p19.JPG
R=10

p20.JPG

nota: algunas notaciones pueden variar, por los distintos libros de algebra del mercado, es decir, por los diferentes autores existentes
Sean, A el conjunto de los números naturales pares y B el conjunto de los números naturales: A = {0, 2,4, 6, 8,…. } y A = {0, 1, 2, 3,4, 5,6,7,8….}
Como Podemos observar A c B y además A 9-- B
Sea A el conjunto formado por la raíz de la ecuación 2x – 4 = 0 y B formado por las raíces de la ecuación x2 – 6x + 6 = 0. Verificar si A c B
Sean el conjunto A = {1, 2, 3} y B por conjunto formado por las raíces de la ecuación
x3-6x2+11x-6=0, verificar sí A = B



p22.JPG
p23.JPG
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P25.JPG
DEBER
D11.JPG


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